Angenommen um a links von der Mittelsenkrechten sei der Schwerpunkt - das Blech sei im Gleichgewicht, wenn es dort gestützt wird. Ohne Loch ginge dann das Blech rechts runter - klar. Und wie wirkt das Loch? Es wirkt wie ein Blech gleicher Größe an gleicher Stelle, aber mit negativem Gewicht, zieht also rechts nach oben. Also können wir eine Gleichung aufstellen fürs Gleichgewicht, wobei die Kräfte jeweils - selbstverständlich - aus Symmetriegründen in den beiden Kreismittelpunkten wirken:

Rechtsdrehendes Drehmoment = linksdrehendes Drehmoment
Große Kreisfläche · a = kleine Loch-Kreisfläche · (a + 0,5 - r)
0,5² · π · a = r² · π · (a + 0,5 - r)
Nun soll doch aber das Loch größtmöglich sein, aber nicht über den Schwerpunkt hinausgehen, also
2r=a +0,5; somit a=2r -0,5
a oben ersetzt und π gekürzt
0,5² · (2r -0,5) = r² · (2r -0,5 +0,5 -r) = r³
ergibt ausmultipliziert und umgestellt
r³ -1/2 · r +1/8 = 0
Das ist eine kubischen Gleichung, und deren Lösung ist
r = 1/4 · (√5 - 1) = 0,309017...
Also der Durchmesser des kreisförmigen Lochs = 2r = 1/2 · (√5 - 1), somit das 0,6180...-fache vom Durchmesser des Blechs.

Ist doch nicht soooo schwierig - oder? Etwas verwunderlich ist das Auftauchen von √5  

(Das Schwierigste dabei ist das Lösen der kubischen Gleichung. Aber mittels Internet geht das ja heutzutage ruckzuck.)