"Maxwellsches Rad", die Kraft in der Schnur

Das "Fallrad" (so nennt man es auch) mit Masse m, Achsradius r und Massenträgheitsmoment J = m·R² (R sei der effektive Radius von Massenträgheitsmoment) rollt erst die unterste Strecke s an der langen Schnur herab und geht, nachdem die Schnur auf der Achse gänzlich abgerollt ist (siehe Bild), noch um y ≤ r weiter. Wie groß ist die Kraft in der Schnur?

Die Kraft ist zunächst einfach Masse mal wirksamer Differenz von Erdbeschleunigung g und vertikaler Beschleunigung a abwärts:
F = m · (g – a)    [1]

Zur Beschleunigung a geht‘s nicht so einfach über einen Umweg: Die kinetische Energie EK, die aus Translation und Rotation besteht, kommt von der Abnahme der potentiellen Energie EP über den vertikalen Weg s+y:
EP = m · g · (s + y) = EK = ET + ER    [2]

ET ergibt sich mit bekannter Formel (½ · m · v²) aus Masse und deren vertikaler Geschwindigkeit v, und v ist:
v = r · cosφ · ω    [3]    (ω = Winkelgeschwindigkeit)

Winkel φ ist der, um den der Massenschwerpunkt unter dem Schnurangriffspunkt liegt, somit ist r · sinφ = y und (r · cosφ)² = r² – y²    [3a].
Also ist die Translationsenergie ET mit v aus Gleichung [3] und mit [3a]
ET = ½ · m · v² = ½ · m · (r · cosφ · ω)² = ½ · m · (r² - y²) · ω²    [4]

Die Rotationsenergie ER ist bekanntermaßen
ER = ½ · J · ω² = ½ · m · R² · ω²    [5],   (J und R siehe oben)

Die Summe von ET und ER aus Gleichungen [4] und [5] in [2] eingesetzt:
EP = ET + ER = m · g · (s + y) = ½ · m · (r² - y² + R²) · ω²    [6]

Daraus ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit im Quadrat:
   [7]    und mit [3], [3a], also v² = (r² - y²)·ω², die Geschwindigkeit nach unten:    [7a]

(Weiter geht's mit [7] - oder aber [7a] und dann vielleicht einfacher mit weniger Physik, dafür allerdings mehr Mathematik, siehe hier)

Also hier weiter mit [7], wobei das Folgende vielleicht nicht ganz einfach ist: Die Beschleunigung des Rades (d.h. Rad-Schwerpunktes = Achsmitte) relativ zur Schnur ist das Negative der umgekehrten Beschleunigung, nämlich die Beschleunigung jener Stelle am Achsumfang, wo die Schnur von der Achse abgeht, relativ zum Schwerpunkt und setzt sich so aus zwei Komponenten zusammen: (1) die tangentiale Drehbeschleunigung dω/dt dort am Achsumfang, (2) die dort dazu rechtwinklig wirkende Radialbeschleunigung gemäß der bekannten Formel ω²·r. Und da die (angenommen lange und leichte) Schnur keine horizontalen Kräfte übertragen kann - horizontal wird die unten von der Radachse einfach mitgenommen -, kann diese Beschleunigung a nur jeweils vertikale Komponenten haben, ist also nur vertikal.
   [8]    (dies ist wohl die wichtigste Gleichung hier; Achtung: Vorzeichen!)

Die (vertikale) Schnurkraft F bildet mit dem horizontalen Abstand zum Schwerpunkt ein Drehmoment M, welches die Drehung beschleunigt:
   [9]

Gleichungen [9] und [7] in [8] eingesetzt ergibt mit (siehe oben) r · sinφ = y und (r · cosφ)² = r² – y²
   [10]

Nun die Beschleunigung a aus Gleichung [10] in [1] eingesetzt und mit J = m · R² :
   [11]

Ergibt nach F aufgelöst und weitgehend vereinfacht schließlich die Kraft in der Schnur abhängig vom Weg s+y:
[12]  und mit [1] daraus noch die Beschleunigung  

Oder ist doch das andere einfacher: siehe hier ?