"Maxwellsches Rad" (Fortsetzung nun mit weniger Physik, dafür mehr Mathematik - was ist einfacher?)

Also weiter mit [7a]. In der vom Weg s+y abhängigen Geschwindigkeit v versteckt sich ja auch die zeitabhängige Beschleunigung a, die man erhält - mit einiger Mathematik -, indem v(s+y) multipliziert wird mit deren Ableitung dv/d(s+y). Denn die Ableitung von v(s+y) nach (s+y) ist ja Änderung der Geschwindigkeit pro Weg; malgenommen mit der Geschwindigkeit (Weg/Zeit) wird daraus offenkundig die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, also die Beschleunigung a.

   [7a] mal deren Ableitung ergibt also:

 ← [....] sei Obiges ohne Wurzel

        umformen, zunächst erweitern mit (r² - y²)² :

   

Nun den Zähler des Bruchs so ergänzen und umordnen - mit der Absicht -, dass dann ein Teil (erste Hälfte) mit dem Nenner gekürzt werden kann:

   

Schließlich also kürzen - so ist direkt zu sehen, wie sich a von g unterscheidet (also z.B. mit J → 0 d.h. R → 0 oder r → ∞ wird a zu g, was logisch ist).

Dagegen mit y=r und s+r=h (die gesamte Strecke bis ganz unten sei also h) ergibt sich a = g·2hr/R².   Und mit r=R (das Rad sei ein dünnwandiger Reifen) wird's noch einfacher:   a = g·2h/R. Und mit y=0 wird dann - sehr bemerkenswert - sogar a=g/2 !!!


Dann die Beschleunigung a in Gleichung [1], F=m·(g - a), eingesetzt ergibt schließlich die Kraft in der Schnur abhängig von der Höhe:
  wie schon vorher Gleichung [12]. Ist das nun einfacher? Kommentar an manfred.ullrich@arcor.de