Ändert sich die Raddrehzahl beim "Drehstuhlexperiment"?    

Es soll hier gezeigt werden, was aus der Raddrehzahl wird beim Kippen der Radachse. Hierbei wird angenommen, dass das Kippen von senkrecht zu waagerecht geschieht. Es gibt das Massenträgheitsmoment vom Drehstuhl (plus Person) IDSt, vom Rad IR und das weitere MTM vom Rad IRs senkrecht zu seiner eigentlichen Achse - welches sich beim Kippen der Achse bemerkbar macht!

Es wird davon ausgegangen, dass wir schon mitten im Kippen sind, also schon ein Kippwinkel a vorliegt und die Radachse somit schon schräg ist, der Drehstuhl schon mit der Drehzahl wDSt dreht, das Rad gegenwärtig die Drehzahl wR hat und (der Einfachheit halber) der Massenschwerpunkt vom Rad senkrecht über der Drehstuhlachse sei und bleibe. Nun wird um da weitergekippt und die Frage ist, was ändert sich durch dies Weiterkippen? Zuvor eine Klarstellung. Was geschieht ohne das Weiterkippen? Nehmen wir an, der Drehstuhl dreht und die Radachse ist schräg - hat also eine waagerechte Komponente - und sei mit dem Drehstuhl fixiert. Ändert sich nun etwas, während der Drehstuhl rotiert? Nein, ohne Reibungsverluste dreht der Drehstuhl so mit schräger Radachse und konstanter Drehzahl weiter. Und weil die waagerechte Radachs-Komponente nun ständig die Richtung ändert, wird zwar ein ständig die Richtung wechselndes Kippmoment auf die Drehstuhlachse ausgeübt, aber die solle ja nicht nachgeben.

Ausgegangen wird im Folgenden von der Drehimpulsformel (es handelt sich hierbei um Vektoren):
Drehimpuls L = Drehmoment M mal Zeit t = Massenträgheitsmoment I mal Drehzahl w.
(Dies ist ganz analog zur Impulsformel:
Impuls = Kraft mal Zeit = Masse mal Geschwindigkeit.)

Durch ein weiteres Kippen der Radachse von senkrecht nach waagerecht um den kleinen Winkel da (a als Radiant) während der Zeit dt verdreht sich die Drehimpulsrichtung des Rads und ändert damit den Raddrehimpuls um da · IR · wR. Und damit wird während dt ein (um a schrägstehendes) Drehmoment erzeugt, welches wiederum um die vertikale Achse ein Drehmoment MDSt (wegen der Schräge mal sina) verursacht.
MDSt · dt = da · IR · wR · sina    [Gleichung 1]

MDSt mal dt ist eine Drehimpulsänderung um die vertikale Achse und bewirkt somit eine Erhöhung dwDSt der Stuhl-Drehzahl (zum wirksamen MTM des Drehstuhls IDSt kommt noch die horizontale Komponente von IRs = sina · IRs   hinzu):
MDSt · dt = dwDSt · (IDSt + sina · IRs)     [Gleichung 2]

Weil der Drehstuhl und somit die schräge Radachse in der horizontalen Ebene mit wDSt dreht - somit ändert sich die waagerechte Komponente des Raddrehimpulses also mit wDSt -, bewirkt diese waagerechten Komponente des Drehimpulses IR · wR · sina gleichzeitig ein (gemäß Drehimpulsformel) Gegendrehmoment MGegen = wDSt · IR · wR · sina gegen das Kippen mit da. Dieses mit da malgenommen ergibt die ins Kippen hineingesteckte Energie - Gegendrehmoment mal Kippwinkel ist ja Energie. Und das ist also Gleichung 1 multipliziert mit wDSt, während Gleichung 2 mit wDSt multipliziert den Energiezuwachs aufgrund der Drehzahlerhöhung vom Drehstuhl darstellt. Beide Energien sind gleich, nämlich MDSt · dt · wDSt . Und somit zeigt sich also, dass die im Drehen des Drehstuhls steckende Energie vollständig allein vom Kippen der Radachse herrührt. Und weil somit die Drehenergie vom Rad unverändert bleibt, kann das nur heißen:

Die Drehzahl wR des Rads um seine Achse bleibt erhalten! Und dies ist - für mich - eine äußerst bemerkenswerte und denkwürdige Eigenheit des "Drehstuhlexperiments", nämlich:
In der Drehung des Drehstuhls sind sein Drehimpuls und seine Drehenergie vereinigt. Während sein Drehimpuls vom gekippten Rad kommt, hat jedoch seine Drehenergie eine ganz andere Quelle, nämlich die Person auf dem Drehstuhl! (Ist das nicht toll?)