Kreisen beim Fliegen  

Bekanntlich setzt sich der Widerstand, den die Luft der Bewegung des Flugzeugs entgegensetzt, aus "Schädlichem" und "Induziertem" Widerstand zusammen:
  [1]    (W = Widerstand, v = Geschwindigkeit, C = Beiwert, I und S = Indices für induziert und schädlich.)

Hierbei geht das Gewicht G im Quadrat in den Beiwert vom Induzierten Widerstand CI ein:
CI = G² × CIoG   (CIoG soll hier der Beiwert des Induzierten Widerstandes ohne Gewicht sein, um - weiter unten - den Einfluss vom Gewicht direkt sehen zu können.)

Leistung P = W × v ist die, die gebraucht wird, um den Auftrieb zu erzeugen und gleichzeitig den "Schädlichen" Widerstand zu überwinden. Also zunächst die benötigte Leistung:
  [2]

Geringstes Sinken heißt kleinste Leistung - also die Ableitung zu Null setzen:
  daraus Flug-Geschwindigkeit des geringsten Sinkens abhängig vom Gewicht:
  [3]

Aus Formel [2] und [3] ergibt sich die Leistung beim geringsten Sinken PgS im Geradeausflug:
  [4]

Die Herkunft der Leistung aber ist: P = G × Sinken (Kraft mal Weg in Kraftrichtung pro Zeit), also ist das geringste Sinken im Geradeausflug - wenn man Formel[4] durch G teilt:
  [5]

Und beim Kreisen:
(Mit Kreisen ist hier das Kreisen gegenüber Luft gemeint, denn wenn Wind weht, macht das Flugzeug mit diesem Kreisen natürlich keine Kreise gegenüber einem Beobachter, der auf der Erde steht! Das Flugzeug kreist dann sozusagen um einen in der Luft schwebenden Ballon. Und wenn der Pilot dabei die Erde nicht beachtet, ist es für ihn ganz egal, ob er mit oder ohne Wind fliegt.)
Also kreist ein Flugzeug mit Radius R, so ergibt sich eine Luftkraft L, weil zur vertikalen Gewichtskraft G noch eine horizontale Zentrifugalkraft Z hinzukommt. Das ist so, als würde das Flugzeug geradeaus fliegen und dabei - z.B. über ein Zugseil - seitlich eine horizontale Kraft Z angreifen. Um dann der Luftkraft L=√(G² + Z²) gegenzuhalten, muss für die Flug-Geschwindigkeit des geringsten Sinkens beim Kreisen vgSk dann in Formel[3] statt G nun L=G/cosa eingesetzt werden. (Hierbei ist G/L = cosa, wobei a der Winkel zwischen G und L und auch der Neigungswinkel des Flugzeugs ist. Das Flugzeug sollte ja - optimalerweise - senkrecht zur Luftkraft L fliegen!):
  [6]

Für die fürs Kreisen mit geringstem Sinken benötigte Leistung PgSk (Erzeugung der Gegenkraft zu L und Überwindung des "schädlichen" Widerstandes) ist es dann nichts Anderes - warum sollte es anders sein? -, als wäre es die Erdanziehung, die mit der Luftkraft L zieht. Also statt G nun L=G/cosa in Formel[4] eingesetzt ergibt die fürs Kreisen mit gegebenen Neigungswinkel geringstmögliche Leistung:
  [7]

Aber was ist die Quelle dieser Leistung, wo kommt denn die her? Es kann natürlich auch hier nichts Anderes sein, als die Umsetzung der potentiellen Energie von Gewicht G × Sinken. Also ist das geringste Sinken beim Kreisen die Leistung PgSk in Formel[7] geteilt durch G, und das ist - vergleiche mit Formel[5]:
  [8]

Also das geringste Sinken ist beim Kreisen mit Neigungswinkel a um 1/(cosa)1,5 größer als das geringste Sinken beim Geradeausflug. Und wie hängt nun der Neigungswinkel mit dem Kreisradius R zusammen, wenn mit geringstmöglichem Sinken gekreist wird?:
 [9]   Nun für vgSk die Formel[6] einsetzen, und tan ist sin/cos (g ist die Erdbeschleunigung = 9,81m/s2):
  [10]   und daraus der Neigungswinkel beim Kreisen mit geringstem Sinken:
  [11]   und daraus ergibt sich noch eine interessante Ergänzung für Formel[8] - ausgehend vom geringsten Sinken gS und dessen Fluggeschwindigkeit vgS beim Geradeausflug:
  [8a]
Entsprechend für Formel[6]:     [6a]

Hier ist auch zu sehen, ab welchem kleinsten Radius es theoretisch nicht mehr geht – angegeben mit den Widerstandsbeiwerten bzw. der Flug-Geschwindigkeit des geringsten Sinkens vgS beim Geradeausflug -, nämlich:
  [12]
Vernachlässigt wurde bei diesen Betrachtungen jene Wirkung des Widerstandes, welche beim Sinken - in mehr oder weniger geringem Maße - der Gewichtskraft gegenwirkt und somit den Auftrieb unterstützt. Weggelassen wurde bei dieser Betrachtung auch das "beste Gleiten", weil das - im Gegensatz zum "geringsten Sinken" - beim Kreisen ja eigentlich total uninteressant ist.