Zur Kennzeichnung werden die leeren Felder
für den Eintrag der Zahlen 1 bis 16
zeilenweise von oben links bis unten rechts
mit a,b,c... bis p benannt.
34 a 39 b 29
 c d e f g
38  h38  i48
 j k l m n
22  o39  p41

Der erste Schritt ist der wichtigste:
1. Die Summe aller einzutragenden 16 Zahlen ist 136. Alle Nachbarzahlen von den vier Eckzahlen überschneiden sich nicht untereinander und kommen somit in der Summe der Eckzahlen (die ist 126) nur einfach vor. Also muss die Summe der verbleibenden Zahlen (e, h, i, l) 136-126=10 sein, und somit kommen für diese 4 Zahlen offensichtlich nur 1 bis 4 in Frage.

2. e, h, i, l sind vier der acht Nachbarzahlen der mittleren 38. Für die restlichen vier Nachbarzahlen (d, f, k, m) bleibt somit als Summe 28, die man mit den nun verbliebenen Zahlen (5 bis 16) nur mit 5, 6, 7, 10 oder 5, 6, 8, 9 bilden kann.

3. Die Summe für 41 lässt sich dann nur bilden mit m=10 und dazu n, p = 15, 16 oder 16, 15. Und somit bleiben für d, f, k nur die Zahlen 5, 6, 7 übrig.

4. Die Summe für 34 lässt sich dann nur bilden mit d=7 und dazu a, c = 13, 14 oder 14, 13.

5. Die Summe für 29 lässt sich dann nur bilden mit f=6 und dazu b, g = 11, 12 oder 12, 11.

6. Für die Summe für 22 bleibt dann nur k=5 und dazu j, o = 8, 9 oder 9, 8.

7. Die Summe für 48 lässt sich dann nur bilden mit i=4 und g=12 und n=16. Und b=11 als auch p=15 stehen nun fest.

8. Die Summe für die linke 38 lässt sich dann nur bilden mit h=3 und c=14 und j=9. Und a=13 als auch o=8 stehen nun fest.

9. Mit der Summe für die obere 39 bleibt für e=2; und somit bleibt zuletzt l=1.

Und so sieht die Lösung aus: 
3413391129
14 7 2 612
38  338  448
 9 5 11016
22 839 1541
 War doch nicht so schwer - oder?